Η Λωρίδα του Μέμπιους, είναι μια από τις πιο συναρπαστικές μαθηματικές δομές, ένας ιδανικός συνδυασμός ενός απλού σχήματος με εξαιρετικά περίπλοκες ιδιότητες. Για πάνω από έναν αιώνα, έχει γοητεύσει τόσο ερασιτέχνες, όσο και επαγγελματίες μαθηματικούς. Ένα από τα πιο δύσκολα αινίγματα που σχετίζονται με αυτήν είναι ένα φαινομενικά απλό ερώτημα: Πόσο κοντή και πόσο φαρδιά μπορεί να γίνει μια χάρτινη Λωρίδα του Μέμπιους πριν αρχίσει να περιστρέφεται ή να περνά μέσα από τον εαυτό της; Το ερώτημα είναι πιο περίπλοκο απ’ ό,τι φαίνεται.
Παίρνετε μια λωρίδα χαρτιού, στρίβετε το ένα άκρο της κατά 180° μοίρες (μισή στροφή) και στη συνέχεια ενώνετε τα δύο άκρα της με ταινία. Το σχήμα αυτό είναι το “εισιτήριο” για τον κόσμο όπου οι επιφάνειες έχουν μια μόνο πλευρά και τα όρια του μέσα και του έξω, συγχέονται. Αυτός είναι ο κόσμος της Λωρίδας (ή Ταινίας) του Μέμπιους.
Ο κύριος περιορισμός, είναι η λέξη “χαρτί”. Στη γεωμετρία, αυτό σημαίνει ότι η λωρίδα είναι αναπτυσσόμενη επιφάνεια – μπορεί δηλαδή να σχηματιστεί από ένα επίπεδο φύλλο χωρίς καμία παραμόρφωση, τέντωμα, σκίσιμο ή συρρίκνωση. Ο επίσημος όρος είναι ισομετρική απεικόνιση, ένας μετασχηματισμός που διατηρεί όλες τις αποστάσεις και τα μήκη τόξων. Δεν γίνεται να συρρικνώσεις μια μακριά, λεπτή λωρίδα – το απαγορεύει το ίδιο το υλικό. Αυτό αποκλείει και τα origami, δηλαδή το να διπλώσεις την ταινία σαν ακορντεόν για να τη χωρέσεις σε μικρό χώρο. Η λωρίδα πρέπει είναι ομαλά ενσωματωμένη στον τρισδιάστατο χώρο.
Μια μαθηματική εξίσωση 250 ετών μόλις απέκτησε κβαντική μορφή
Τον γρίφο αυτό παρουσίασαν στην ακαδημαϊκή κοινότητα για πρώτη φορά το 1977, οι μαθηματικοί Charles Weaver και Benjamin Halpern. Έκτοτε, μαθηματικοί ανά τον κόσμο πασχίζουν να λύσουν το μυστήριο και να βρουν τη σωστή απάντηση. Τώρα, ο Richard Schwartz, μαθηματικός απ’ το πανεπιστήμιο του Brown, ισχυρίζεται πως έλυσε τελικά το μυστήριο.
Όταν ο κύκλος δεν είναι πλέον κύκλος
Η Λωρίδα του Μέμπιους έχει μια επιφάνεια χωρίς προσανατολισμό. Με απλά λόγια, αυτό σημαίνει πως, αν ήμασταν μυρμήγκια που σέρνονται στην επιφάνειά της, θα ήταν αδύνατον να διακρίνουμε ποια πλευρά είναι «πάνω» και ποια «κάτω». Αν πάρουμε ένα μολύβι και, τραβήξουμε μια γραμμή κατά μήκος του κέντρου της λωρίδας, η γραμμή θα κάνει ολόκληρο τον κύκλο και θα επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης χωρίς ποτέ να διασχίσει κάποια άκρη, αποκαλύπτοντας πως η επιφάνεια έχει μια μόνο ενιαία πλευρά. Εντυπωσιακή σπαζοκεφαλιά.
Μαθηματικός ανακάλυψε μία πιο γρήγορη μέθοδο πολλαπλασιασμού – Το μάθημα των μαθηματικών μπορεί να γίνει πιο εύκολο
Τη Λωρίδα ανακάλυψαν το 1858 οι Γερμανοί μαθηματικοί August Ferdinand Möbius και Johann Benedict Listing, ανεξάρτητα. Ενώ η εφεύρεση κατοχυρώθηκε απ’ τον Möbius, και οι δύο γοητεύτηκαν απ’ την περίεργη ιδιότητά της: Την άπειρη επιφάνειά της. Δεν είναι ένα απλό μαθηματικό κόλπο. Πολλοί μηχανικοί και επιστήμονες ενθουσιάζονται, για πρακτικούς λόγους με τη Λωρίδα του Μέμπιους.
Για παράδειγμα, οι ιμάντες μεταφοράς που σχεδιάζονται σύμφωνα με τη Λωρίδα/Ταινία του Μέμπιους, φθείρονται ομοιόμορφα και διαρκούν διπλάσιο χρόνο σε σχέση με τους συμβατικούς ιμάντες. Στα ηλεκτρονικά, οι αντιστάσεις τύπου Μέμπιους χρησιμοποιούνται χάρη στις μοναδικές ηλεκτρομαγνητικές τους ιδιότητες. Η γοητεία της, φυσικά, δεν άφησε ασυγκίνητους ούτε τους καλλιτέχνες. Ο διάσημος γραφίστας M.C. Escher ενσωμάτωσε την Λωρίδα του Μέμπιους στο ξυλόγλυπτό του “Möbius Strip II”, όπου μυρμήγκια κινούνται σε μια μονόπλευρη, ατέρμονη επιφάνεια. Ακόμη και το σύμβολο της ανακύκλωσης, που βλέπουμε πάνω σε κουτάκια αλουμινίου και πλαστικά μπουκάλια, στην ουσία βασίζεται σε μια Λωρίδα του Μέμπιους.
Αν και η οπτική της γοητεία είναι αναμφισβήτητη, η μεγαλύτερη επιρροή της ταινίας βρίσκεται στα μαθηματικά. Η εισαγωγή της Λωρίδας του Μέμπιους έφερε την επανάσταση στον κλάδο της τοπολογίας — της επιστήμης που μελετά τις ιδιότητες των αντικειμένων που διατηρούνται όταν κινούνται, λυγίζουν, τεντώνονται ή συστρέφονται, χωρίς να κόβονται ή κολλούν μεταξύ τους. Για παράδειγμα, μια κούπα καφέ και ένα ντόνατ είναι τοπολογικά ταυτόσημα: και τα δύο έχουν μία τρύπα, και με κατάλληλη παραμόρφωση —μέσω τεντώματος και κάμψης— το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο.
Μια πρωτοποριακή στιγμή
Δεν ήταν όμως η τοπολογία που κέντρισε το ενδιαφέρον του Richard Schwartz. Ο μαθηματικός άκουσε για πρώτη φορά για το «πρόβλημα της ελάχιστης Λωρίδας του Μέμπιους πριν από τέσσερα χρόνια και από τότε τον συνεπήρε. Οι επίμονες προσπάθειές του να λύσει τη συγκλίνουσα υπόθεση Halpern–Weaver τελικά απέδωσαν καρπούς. Ο Schwartz ανακοίνωσε τη λύση του στην πλατφόρμα arXiv.org τον Αύγουστο του 2023.
Τα ευρήματά του; Η βέλτιστη λωρίδα του Μέμπιους πρέπει να έχει αναλογία διαστάσεων μεγαλύτερη από √3 (περίπου 1,73). Με απλά λόγια, μια λωρίδα που έχει πλάτος 1 εκατοστό πρέπει να έχει μήκος μεγαλύτερο από 1,73 εκατοστά. Διαφορετικά, η κατασκευή αναπόφευκτα θα καταρρεύσει.
Ωστόσο, η πορεία προς την ανακάλυψη δεν ήταν καθόλου γραμμική. Ο Schwartz έπρεπε να εφεύρει έναν νέο τρόπο για να «δει» τη γεωμετρία που κρύβεται μέσα στην Λωρίδα. Καθώς πάλευε με το πρόβλημα επί χρόνια, δοκίμασε διάφορες στρατηγικές και μεθόδους.
«Ο διορθωμένος υπολογισμός μού έδωσε τον αριθμό που ταίριαζε με την υπόθεση», δήλωσε στο Scientific American. «Έμεινα άναυδος… Πέρασα τις επόμενες τρεις μέρες σχεδόν άυπνος, απλώς καταγράφοντας τα πάντα.»
Όπως όμως συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά, η λύση ενός προβλήματος ανοίγει την πόρτα για ένα άλλο, πιο περίπλοκο. Με μαθηματικούς όρους, δεν υπάρχει περιορισμός στο μήκος που μπορεί να έχει η λωρίδα του Μέμπιους. Το επόμενο ερώτημα που απασχολεί τον Schwartz είναι ποια είναι η πιο κοντή λωρίδα χαρτιού που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία μιας Λωρίδας του Μέμπιους με περισσότερες συστροφές.
Η κλασική λωρίδα έχει μισή συστροφή. Τι συμβαίνει, όμως, με μια λωρίδα που έχει τρεις μισές συστροφές; Αυτή είναι η επόμενη πρόκληση. Στην εργασία του, ο Schwartz αναφέρει ότι πρόκειται για ενεργό πεδίο έρευνας. Μαζί με τη συνεργάτιδά του, Brienne Brown, μελετούν τις λωρίδες με τρεις συστροφές και έχουν εντοπίσει δύο «υποψήφια βέλτιστα μοντέλα»: τα ονόμασαν «crisscross» (διασταυρούμενο) και «cup» (κύπελλο). Και τα δύο μπορούν να δημιουργηθούν από μια λωρίδα χαρτιού διαστάσεων 1 x 3.
Αυτό το εύρημα τους οδήγησε στην υπόθεση ότι για μια ταινία με τρεις μισές συστροφές (540°), η αναλογία διαστάσεων πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 3. Και σε αυτό το σημείο, ξεκινά μια ατελείωτη σειρά ερωτημάτων: Τι ισχύει για τις ταινίες με πέντε ή επτά συστροφές; Ή για τους λεγόμενους «στριφτούς κυλίνδρους», που έχουν ζυγό αριθμό συστροφών, όπως δύο, δηλαδή μία πλήρη περιστροφή;
Τα μαθηματικά προκαλούν τα όρια της αντίληψής μας, ωθώντας μας ν’ αμφισβητήσουμε την ίδια την έννοια της πραγματικότητας. Στην πραγματικότητα αυτή, η λωρίδα του Μέμπιους είναι ένα μαγευτικό νήμα που μας θυμίζει την ομορφιά που κρύβεται στο άπειρο και τη συνέχεια.
Πηγή: enikos.gr